高考数学“函数对称性”题型的解析与同类型题根迁移探究

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【关键词】 函数对称性;高考数学;解题技巧

纵观近几年全国高考数学试卷,函数与导数作为重要考点之一,在整套试卷中的地位不可撼动,每份试卷几乎都有涉及这一知识点的题目.此类问题一般属于高难度题目,综合性较强,既是对考生基础知识掌握程度和基本技能熟练程度的检验,也是对学生数学思想方法的考查.如2022年新高考全国I卷第12题,看似简单明了,实则蕴含了许多信息,需要深入挖掘其本质,从而推断出更多结论,这是对学生的逻辑推理能力和运算求解能力的考验.因此,本文将从该道题入手,对其进行深入细致的研究分析,然后在此基础上探讨同类其他相关题目,寻找这类题型的本质规律及解决策略.

1 真题再现与条件深度剖析

例1（2022年新高考I卷第12题）已知函数 f(x) 及其导函数 f′(x) 的定义域均为 R，记 g(x)=f'(x)，若 均为偶函数，则

(A) f(0)=0. (B) (C) f(-1)=f(4).(D)g(-1)=g(2).

解析 本小问是高考卷的压轴题,不仅涉及函数的基本性质(奇偶性)和图象特征(关于原点对称),还涉及函数的周期性和导数的概念.这是一道综合性很强的题目,在考试大纲中属于较高要求题型.同时,该题难度较大,具有很高的区分度.解题时需通过分析题目所给条件得出具体的关系式,从而得到结论.

第1步 转化条件,识别对称性.由 为偶函数,有 .

令 ，可得 f(t)=f(3-t) .

结论1 函数 f(x) 的图象关于直线 对称. 由 g(2+x) 为偶函数, 且 g(x)=f'(x), 有 g(2+x)=g(2-x).

结论2 函数 g(x)，即 f'(x) 的图象关于直线 x=2 对称.

第2步 定理1: 若可导函数 f(x) 的图象关于直线 x = a 对称, 则其导函数 f'(x) 的图象关于点 (a,0) 中心对称. 定理2: 若可导函数 f(x) 的图象关于点 a, f(a) 中心对称, 则其导函数 f'(x) 的图象关于直线 x = a 对称. 应用此“题根”: 由结论 , 根据定理1可得结论3.

结论3 g(x)=f'(x) 的图象关于点 中心对称. 由结论 2g(x) 关于 x=2 轴对称”，根据定理2可知，其原函数 f(x) 的图象必关于点 (2,t) 中心对称（其中 t 为某常数）.

结论 4 f(x) 的图象关于点 (2,t) 中心对称.

第3步 当一个函数同时存在轴对称和中心对称时, 推导周期性. 已知 f(x) 关于轴 对称: f(x)=f(3-x). 已知 f(x) 关于点 (2,t) 中心对称: f(x)=2t-f(4-x). 将 f(3-x) 代入中心对称式中的 f(x), 有 f(3-x)=2t-f(4-(3-x))=2t-f(1+x). 又因为 f(3-x)=f(x), 可得 f(x)=2t-f(1+x) ①. 在 ① 式中, 将 x 替换为 x+1, 得 f(x+1)=2t-f(x+2) ②. 观察 ① ② 两式, 可以发现函数值在自变量增加 2 时, 关系紧密. 进一步推导可得函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 (具体证明略). 同理, g(x)=f'(x) 也是周期为 2 的周期函数.

结论5 f(x) 和 g(x) 均是周期为 T=2 的周期函数.

第4步 (A) 选项, 由周期性, f(0)=f(2). 由结论4, 令 x=2, 有 f(2)+f(2)=2t, 即 f(2)=t. 但 t 的值无法确定, 故 f(0) 不一定为0. (A) 错误. (B) 选项, 由周期性, . 由结论3, 令 x=0, 有 , 即 . 故 . (B) 正确. (C) 选项, 由周期性, f(-1)=f(1),f(4)=f(2). 由结论4, 令 x=1, 有 f(1)+f(3)=2t. 由周期性 f(3)=f(1), 故 2f(1)=2t, 即 f(1)=t. 又 f(2)=t, 所以 f(1)=f(2), 即 f(-1)=f(4). (C) 正确. (D) 选项, 由周期性, g(-1)=g(1). 由结论3, 令 有 g(2)+g(1)=0, 即 g(1)=-g(2). 所以 g(-1)=-g(2)≠g(2). (D) 错误. 因此, 本题正确答案为(B)(C).

2 题根迁移:举一反三,触类旁通

例 2 （同类型题 1）(2021 年新高考全国Ⅱ卷第8题)已知函数 f(x) 的定义域为 R,f(x+2) 为偶函数, f(2x+1) 为奇函数, 则( )

(A) (B) f(-1)=0. (C) f(2)=0. (D) f(4)=0.

解析 f(x+2) 是偶函数 ⇒f(2+x)=f(2-x)⇒f(x) 关于 x=2 轴对称. f(2x+1) 是奇函数 ⇒f(1+2x)=-f(1-2x). 令 t=2x, 得 f(1+t)=-f(1-t)⇒f(x) 关于点(1,0)中心对称. 运用“题根”: 函数同时存在轴对称 x=2 和中心对称(1,0), 且两对称中心距离为 1, 则函数有周期 T=4×|2-1|=4. 由中心对称性 f(1)=0, 根据周期性, f(1+4k)=0. 验证选项: f(-1)=f(-1+4)=f(3). 由轴对称性, f(3)=f(2×2-3)=f(1)=0, 故 f(-1)=0. 答案选(B).

3 结语

通过分析2022新高考国卷数第12题可知，该题既注重对基本概念的理解，又考查了学生的逻辑推理能力和运算求解能力，同时体现了解法的多样性与解题的灵活性。（剩余2351字）