处理含参不等式恒成立问题的两种有效技巧

打开文本图片集

参数蕴含型恒成立问题是含有参数的不等式恒成立，其中问题可能涉及两个或者两个以上未知数.如何选择主元才能使解题既合理又迅速？本文以例题加以说明.

1 分离参数法

解决含参不等式恒成立问题，分离参数法是一种有效可行的办法.凡是不等式中参数与变量能分离的情形，用分离参数法来解决是比较合适的方法.其具体步骤是：先利用不等式的基本性质将参数与变量移到不等号两边，然后将含有变量的式子作为函数关系式，通过讨论函数的最小值（或最大值）确定参数在不等式恒成立时的范围.特别要注意，在进行分离参数的过程中，要熟悉灵活运用不等式的各种性质与法则，变形的过程要严密无误.

例1 当 x∈（0，1] 时，不等式 mx3-x2+4x+3⩾0 恒成立，求参数 m 的取值范围.

解析 第一步， 参数分离. 要使当 x∈（0，1] 时， 不等式 mx3-x2+4x+3⩾0 恒成立， 需使当 x∈（0，1] 时， ， 令 ， 则 t∈[1，+∞） ， m⩾-3t3-4t2+t .

第二步， 求函数最大值. 先构造函数 g（t）=-3t3-4t2+t， 则 g'（t）=-9t2-8t+1=-（9t-1）（t+1）， 则 t∈[1，+∞）， 有 g'（t）<0， 所以 g（t） 在 [1，+∞） 上单调递减， 所以 g（t）max=g（1）=-6， 故 m⩾-6. 仔细观察可发现， 该不等式的三次项系数中含有参数 m ，于是根据不等式的性质进行移项，通过除法将不等式中的参数 m 与变量 x 分离，得到 ，再将不等式右侧的式子视为函数式，构造出函数 g（t）=-3t3-4t2+t，其中 t∈[1，+∞），将问题转化为三次函数最值问题，运用导数法求得函数在 t∈[1，+∞） 上的最值，即可确定参数的取值范围.

例2 已知函数 f（x）=ax+x-a，若 f（x）>-2x2-3x+1-2a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ____。（剩余1498字）