浅析数列奇偶项求和问题的破解策略

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在数列求和问题中,当奇偶项的变化规律呈现不同特征时,“拆分求和”是突破此类问题的核心方法,其关键在于先分离奇偶项.下面笔者通过剖析不同题型,探究此类问题的处理策略与一般步骤.

1 题型 1: 分段函数类型的数列求和

例1 已知 {an} 为等差数列， 记 Sn,Tn 分别为数列 {an},{bn} 的前 n 项和， S4=32,T3=16.

(1) 求 {an} 的通项公式；

(2) 证明: 当 n>5 时, Tn>Sn.

解析 (1) 设等差数列 {an} 的首项为 a1,

公差为 d,b1=a1-6,

b2=2a2=2a1+2d,

b3=a3-6=a1+2d-6,

由 解得

所以该数列的通项公式是 an=2n+3.

(2) 由 (1) 知 ,

若 n 为偶数,

Tn=(b1+b3+⋯+bn-1)+(b2+b4+⋯+bn).

当 n>5 时，

即 Tn>Sn

若 n 为奇数，

则 Tn=Tn-1+bn

当 n>5 时，

即 Tn>Sn

综上可得，当 n>5 时， Tn>Sn

点评 数列的通项变化规律随奇偶项呈现“双重特征”，常规求和公式难以应用。（剩余5602字）