关于导数研究切线问题的教学探究

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引言

切线问题是数学考查的热点内容，考查核心是学生对导数几何意义的理解和应用.这类问题形式多样、知识点覆盖面广且综合性较强，涉及代数方程、函数单调性、极值等知识内容.由于曲线的切线能够反映曲线的变化特征，是“以直代曲”思想的具体体现，因此在解析问题时，常借助导数相关知识，从求解切线的斜率入手，逐步构建解题思路[1].

基于上述分析，教学中建议设置“导数研究切线问题”的探究专题.围绕具体问题，讲解利用导数知识破解各类切线问题的思路与方法，同时融合函数与几何的思想方法，以提升学生的解题能力与学科素养.在具体教学过程中，建议按照“方法讲解→解题探究→总结思考”的思路展开.

实例探究

1. 点P处的切线问题

（1）方法讲解

点P处的切线问题，即已知曲线方程，求解固定点P处的切线方程.此类问题条件简洁，具体求解思路可分为三步：

第一步，求斜率：利用导数知识求出曲线在点 （x0，f（x0）） 处切线的斜率 f'（x0） ;

第二步，写方程：通常采用点斜式构建切线方程，形式为 y-f（x0）=f'（x0）（x-x0） ;

第三步，变形式：将切线的点斜式方程化简为一般式方程，完成求解.

（2）解题探究

例1 已知函数 ，则其图象在点（1，2）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为____.

分析与解答 本题要求解三角形的面积，关键在于求出函数 在点（1，2）处的切线方程. 可以利用导数知识先求切线斜率，再建立切线方程，后续计算三角形面积则较为简便.

已知 ，则其导函数为 ，在点（1，2）处的切线斜率为 f'（1）=3 ，因此函数 在点（1，2）处的切线方程为y=3x-1.

结合切线方程及坐标轴求出三角形顶点的坐标：切线与y轴的交点为 （0，-1） ，与x轴的交点为 。（剩余4283字）