2025年高考数学全国Ⅰ卷 第14题的解法探究及教学启示

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试题呈现

题目 一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号. 若每次取一个球，有放回地取三次，记至少被取出一次的球的个数为X，则数学期望 E（X）= ____.

此题是一道求期望的概率题，综合性较强，全面考查了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学学科核心素养，是一道区分度较好的试题.

做概率题时，教师要引导学生常问自己以下问题：做什么试验？是放回试验还是不放回试验？试验的所有可能结果是什么？是分类还是分步？随机变量的可能取值是什么？是什么事件？是什么概率模型？基于以上问题，可以从以下视角解答该题.

视角一：古典概型+排列组合

本题中的试验为有放回摸球试验，试验的样本空间的元素个数有限，且每次试验等可能，满足古典概型的条件，因此可从古典概型的角度进行解答.对题中“至少被取出一次的球的个数为X”的理解可分为三种情况：

①三次都取出同一个球，随机变量X的取值为1；②三次取出的球有两球相同，随机变量X的取值为2；③三次取出的球都不同，随机变量X的取值为3。（剩余3199字）