关于解三角形中的取值范围问题的变式研究

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2024年9月，市教研室组织开展市直普通高中教学调研活动.笔者有幸观摩了本校一位高三数学教师开设的“解三角形取值范围问题”调研课，感触颇深.课后，笔者与该教师深入交流，同时查阅、整理相关资料，对近年高考及模拟考中此类问题的考查类型与解题方向展开系统研究.研究发现，解三角形中的取值范围问题，其核心结构多集中于和型、差型、乘积型、比值型及平方和型;解题路径则大致可归为三类：一是依托正弦定理与三角函数性质分析，二是借助余弦定理与均值不等式求解，三是结合三角形面积与数形结合思想探究.下面，笔者将对这类问题的探究与反思过程整理成文，以期与同行交流探讨.

例题（2020年高考数学浙江卷第18题）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .

（1）求角B的大小;

（2）求 cosA+cosB+cosC 的取值范围.

解 （1）

（2）

. 由题意可得 ， 所以 ， 因此 .

思考 本例题的第（2）问属于解三角形中齐次式求和的取值范围问题，可通过合一变形转化为单变量的三角函数求解，体现了函数思想.试想，若改变问题形式，还可提出哪些新问题？解决这类问题有哪些思路？是否存在通性通法？……

变式1（比值型结构） 求 的取值范围.

解 ，由 可得 ，所以 ，因此 .

变式1思考 这类齐次比值型结构的式子，可直接利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形内角和定理转化为单变量的三角函数求最值，是较为常见的通法.

相似题链接1（2022年高考数学全国Ⅰ卷第18题）记 ΔABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .

（1）若 ，求B;

（2）求 的最小值.

相似题链接2（2018年高考文数北京卷第14题）若 ΔABC 的面积为 ，且 ∠C 为钝角，则 ∠B= ____； 的取值范围是____。（剩余2698字）