中位线解题指南

——直击初中几何核心应用场景

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1直接用定理求线段长度与角度（基础应用）

例1如图1，已知在 ΔABC 中，点 D 和点 E 分别是 AB 和 AC 的中点， BC=10cm ∠B=60∘ .求：（1）DE 的长度；（2）∠ADE 的度数.

图1

图2

解如图2，作辅助线，连接 DE

第1步：判定 DE 是 ΔABC 的中位线（定理前提）.已知条件：点 D 是 AB 中点 （AD=DB ），点 E 是AC 中点 （AE=EC ）.依据中位线定义，可以得出DE 是 ΔABC 的中位线.

第2步：求DE的长度（应用中位线“长度关系"）.由中位线定理可得 已知 BC=10cm ，因此 ，因此 DE 的长度为 5cm

第3步：求 ∠ADE 的度数（应用中位线的平行关系），由第2步可以知道 DE//BC .根据平行线性质可得： ∠ADE=∠B ，此时， ∠ADE 与 ∠B 是“同位角” DE 和 BC 被AB所截，在截线 AB 同侧，且在被截线 DE，BC 上方）．代入已知数据： ∠B=60∘ 4因此 ∠ADE=∠B=60∘ .结论： ∠ADE 的度数为 60∘ ：

2构造中位线证明线段比例（辅助线应用）

例2如图3，在 ΔABC 中， AD 是 BC 边上的中线 （BD=DC ），点 E 是 AD 的中点 （AE=ED ），连接BE并延长交 AC 于点 F .求证：

图3

图4

解如图4，作辅助线，过点 D 作 DG //BF，交AC 于点 G

由已知条件可知 AD 是 BC 中线 （BD=DC ），可得 D 是 BC 的中点.

又因为 DG//BF ，根据中位线的逆定理，可以推导出，在 ΔBCF 中点 D 是 BC 中点， DG//BF ，因此 DG 平分第三边 FC ，可得点 G 是 FC 的中点.

因为 FG+GC=FC ，且 FG=GC ，所以 FG=

3借助中位线证明特殊四边形（四边形转化）

例3如图5，在任意四边形ABCD中，点 E F，G，H 分别是 AB，BC，DC，DA 的中点.求证：四

边形EFGH是平行四边形.

图5

解如图6，作辅助线，连接 AC （将四边形ABCD拆分为 ΔABC 和 ΔADC ）

已知：点 E 是 AB 中点，点 F 是 BC 中点，所以EF 是 ΔABC 的中位线，由中位线定理可得EF/AC ，且

已知点 H 是 AD 中点，点 G 是 CD 中点，所以HG 是 ΔADC 的中位线，由中位线定理可得 HG// AC ，且

由平行关系推导： EF//AC ，HG//ACEF//HG. 由等量代换推导：

因为 EF//HG ，且 EF=HG ，所以四边形EFGH是平行四边形.

图6

4结语

中位线能将“三角形”与“四边形”，“线段”与“角度”等分散的几何元素关联起来，形成完整的解题逻辑.可以实现“四边形 $$ 三角形 $$ 四边形”的图形转化，也可实现“中点条件 $$ 中位线 $$ 线段比例”的逻辑衔接.这种衔接和转化作用，让中位线成为串联“三角形性质”“平行线性质”“特殊四边形判定”等知识的核心纽带，能帮助学生在面对复杂图形问题时快速找到解题思路.

《数理天地》杂志社关于早已取消“希望杯”全国数学邀请赛主办单位的声明

根据近日接到有关中小学生家长对《数理天地》杂志社作为主办单位举办有关中小学赛事的情况反映，我杂志社郑重声明：

2018年教育部办公厅发布《教育部办公厅关于规范管理面向基础教育领域开展的竞赛挂牌命名表彰等活动的公告》《关于面向中小学生的全国性竞赛活动管理办法（试行）》等通知后，《数理天地》杂志社已不再作为“希望杯”全国数学邀请赛主办单位。（剩余92字）