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【摘要】  数学公式是初中数学教材的重要组成部分，是数学知识的主要载体。数学公式反映了数学对象的属性之间的关系，揭示了数学知识的基本规律。在教学中，数学公式的教学占有重要的地位，教师在数学公式的教学过程中，不能仅仅停留在公式的表面，应该以公式作为载体，注重公式的推导过程，引导学生亲身经历数学公式形成的过程，让学生真正对数学公式理解透彻，掌握公式的结构特征，熟悉公式的各种变换，并且能够运用公式解决数学问题。本文以一元二次方程求根公式的教学为例，谈谈在公式教学中培养学生逻辑推理素养的几点做法。

【关键词】  逻辑推理 公式引入 公式推导 公式应用

【中图分类号】  G633.6                       【文献标识码】  A 【文章编号】  1992-7711（2020）03-097-020

随着基础教育课程的深化改革，“核心素养”已成为当代教育关注的热点话题。在教学过程中可以通过创设合理的教学情境培养学生的数学学科核心素养，这样才能提高学生学习的自主性和创新意识，进一步推动学生的整体发展。数学公式的教学贯穿在整个中学数学教材中。因此，我们一定要以数学公式教学为载体，培养学生的逻辑推理核心素养。我们可以通过研究公式的来龙去脉，学生能从中学会推理的基本形式，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力，形成举一反三的能力。那么，如何在数学公式中实现逻辑推理核心素养的培养目标呢？

一、对公式教学的认识

数学公式是初中数学教材的重要组成部分，是数学知识的主要载体。数学公式反映了数学对象的属性之间的关系，揭示了数学知识的基本规律。因此，教师在数学公式的教学过程中，不能仅仅停留在公式的表面，应该以公式作为载体，注重公式的推导过程，引导学生亲身经历数学公式形成的过程，让学生真正对数学公式理解透彻，掌握公式的结构特征，熟悉公式的各种变换，并且能够运用公式解决数学问题。数学公式的教学过程主要由引入、推导和应用三个环节。在每一个环节中都要以培养逻辑推理核心素养为出发点和落脚点，围绕这一总目标设计教学。

（一）注重公式的引入

新事物的学习需要一个循序渐进的过程，心理学的研究调查标明，同样学习一个知识点，意义识记的学习效果要显著优于机械识记的学习效果。因此，在数学公式的教学中，教师不能一上来就把公式抛给学生，直接让学生观察公式中的字母、符号和文字，而是应当注重揭示数学公式的引入过程。在新公式的引入阶段，为了激发学生的意义学习，加深对所学公式的感知和理解，教师应尽力创设有利于学生集中注意力、激发学习动机的情境，并以此情境为契机，促进学生调动原有知识结构与经验基础积极同化新公式。

公式的引入也可以以一些简单的、可操作的数学实验来呈现。数学知识的发现并不一定都以严密的逻辑推理或证明的形式呈现。教师可以设计与教学内容有关的，便于课堂实施的实验，以此为索引，引导学生操作、归纳、猜想新知识，再通过逻辑论证得到数学公式。如扇形面积公式的引入，可以在学生制作纸质的扇形图形，将几何体剪开得到侧面展开图的操作过程中引导学生找到弧长公式和扇形的面积公式。

（二）注重公式的推导

当学生通过各种情境对公式有初步朦胧认识的时候，数学公式的教学就要转向公式的推导，让学生在教师的带领下感受知识的产生、发展、主动参与新知识的构建。教师在探究数学公式的证明过程中，要让学生亲身经历公式来源的过程，让学生体会到公式逻辑瑰丽的证明过程应该是一个从特殊到一般的推理过程。在推理过程，每当学生展现一次思维过程，教师可通过问题系列的设计将学生带入更深层次的思考，要注重培养学生运用类比、归纳的数学思想解决数学问题的能力，在比较复杂的问题情境把握不同对象之间的关联。

（三）注重公式的应用

学生掌握了公式的来龙去脉后，将进入公式运用阶段。学生学会应用数学公式是理解数学公式的前提，教师需要对新学的公式进行合理的强化，这一阶段教师要给学生创设由简单到复杂、由单一到多重、从抽象到实际的问题背景，同时，教师加强学生对公式的变形、公式的正向应用、公式的反向应用等多方面的练习。这样，不仅可以达到强化新知识的目的，还促进学生对公式的理解，从而让学生对数学公式能够运用自如。从而提高学生对数学公式的运用能力，培养学生的发散思维、逆向思维和创造性思维，发展学生的数学运算能力。

二、核心素养视角下的数学公式教学设计

本文接下来将以人教版《义务教育教科书九年级数学上册》中的“用配方法推导一元二次方程的求根公式”为例，研析如何将数学学科核心素养渗透于数学公式教学中。

（一）创设情境，引入新课

问题1.你能快速说出方程的解吗？

（1）（x+1）2=3

（2）x2=0

（3）x2=-3

问题2.用配方法解下面的方程：

（1）6x2-7x+1=0

（2）2x2-4x+3=0

问题3：用配方法解一元二次方程一般步骤有哪些？

问题4.通过解上述两方程，你觉得配方法有哪些优势和不足？你发现了哪些问题？我们能否针对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）用配方法求解呢？

[设计意图]

复习用配方法解数字系数的一元二次方程的相关知识，这为后续公式的分类讨论打下基础，同时引导学生经历总结归纳的过程。与公式法有实质性联系的内容是前一节所学的配方法，教师以此为新知识生长点呈现练习题：用配方法解上述两方程，既激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法。使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可用配方法来求解，并且用配方法解具体一元二次方程的思路及步骤都相同，同时体验到配方法的局限性，即形如（1）的一元二次方程，一次项系数不是2的倍数或数字较大时配方运算较繁琐、用起来不方便。方程（2）配方后完全平方式为负数，原方程无实数根却花费时间配方，由此产生疑难和困惑，感悟到具体的配方法已经不够用了。鼓励学生对一元二次方程的求解方法做出大胆的猜想，促进学生由特殊到一般的问题的猜想和归纳能力的发展。

（二）公式的推导与发现

1.公式的推导

公式推导过程应根据班级中学生的实际情况选择不同的处理方法，对于自主推导有困难的班级可以选用在老师的引导下经历推导公式的历程，让学生看到真实的思维过程是怎样的。这一过程并不一定要直接指向正确的解答，而是让学生看到教师或前人如何发现成果或如何从困境中寻找新的思路。

问题5.对一般形式的一元二次方程如何配方？你打算如何思考？能否类比前面的研究方法？请用配方法自主探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法。

师生活动：学生自主探究，尝试推导。两名学生板演，教师巡视。

师生共同观察分析黑板上的同学的探索过程

ax2+bx+c=0（a≠0）

ax2+bx=-c

教师：这是配方法中的哪一个过程（移项）

教师：这是配方法中的哪一个过程（将二次项的系数化为1）

教师：这是配方法中的哪一个过程（配方）

教师：这是什么运算（开平方运算）

（因为a≠0所以4a2>0，如果使≥0，那么只有b2-4ac≥0）

教师：如果b2-4ac<0时，可以进行开平方运算吗？（不可以，因为负数没有平方根）

教师：在用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）时，需注意什么？

让学生畅所欲言。

归纳总结：对于ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，在这里我们把x=称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。

[设计意图]

在使学生体验到一般形式配方必要性的基础上，类比数字系数的一元二次方程的配方法，引导学生对一般形式进行配方;在学生未考虑判别式的符号直创设教学情境，引发数学命题学习的需求得到求根公式时，教师运用启发性提示语给予暗示，从而形成恰当程度的认知冲突，使学生产生了新的疑难和困惑，引发其深层思维和探索兴趣，并认识到对b2-4ac需要进行分类讨论。同时使求根公式由潜在发展水平转化为学生的现有发展水平，又为一元二次方程根的判别式与根的关系这一新的潜在发展水平做了铺垫，使学生进入新的最近发展区。

2.公式的理解

问题5.观察公式你有哪些发现，从数学的角度谈一谈？对今后解一元二次方程有什么帮助？

师生活动：学生讨论交流，教师适时点拨。

[设计意图]

通过讨论加深对求根公式的理解，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a，b，c确定，同时让学生进一步感受到数学公式、方法的简洁美和统一美。理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件，把握公式的结构特征，突出数学问题的本质。

（三）应用新知，体验公式

1.试一试

用求根公式解前面的方程：6x2-7x+1=0

[设计意图]

回到情境中的练习，运用求根公式解方程6x2-7x+1=0，使学生体会到求根公式的优越性，感悟科学的研究方法是——发现问题、提出问题和解决问题。

2.解方程

（1）6y2+13y+6=0

（2）5x+2=3x2

（3）x（x-2）=5-8x

思考：由以上解方程的过程，你能总结一下使用公式法解方程的步骤吗？

[设计意图]

使学生进一步体味求根公式的实质，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路，即先化简为一元二次方程的标准形式再运用求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程时可先确定判别式的值再代入求根公式，从而丰富和优化学生的认知结构。

（四）梳理小结，盘点收获

（1）回顾公式的探究推导过程，我们经历了怎样的思考过程？

（2）公式法的优点是什么？

（3）使用这个公式的步骤有哪些？

建立开平方法、配方法与求根公式法的内在联系，使学生感悟化归思想和分类讨论思想。

求根公式法————→配方法————→开平方法

↓                                ↓

用公式时先考虑判别式的符号 化归的目标为降次

[设计意图]引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络。

总之，公式教学应是公式自然出现、公式探索推导、公式灵活运用三位一体的过程。

每个环节都需要教师在逻辑推理核心素养目标指引下，精心设计，学生充分参与，长此反复，公式教学才能成为培养学生逻辑推理核心素养的不竭源泉。

[ 参  考  文  献 ]

[1]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心组编的《初中数学核心内容教学设计案例集》.

[2]蒋海燕，主编的《中学数学核心素养培养方略》山东人民出版社.

[3]曹一鸣，等主编的《基于学生核心素养的数学学科能力研究》北京师范大学出版社.