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函数平移问题是平面向量的理论，以三角函数为载体的一个综合性题型，难度中等，高考中常有涉及。要做好函数平移问题，需认真理清其思路与方法。

设函数[F（x]，[y）=0]图象上的点[P（x]，[y）]按向量[a=（h]，[k）]平移到函数[F’][（x’]，[y’）][=0]图象上的点[P’][（x’]，[y’）]，则有[OP’=OP+a]，

即[（x’]，[y’）][=（x]，[y）+][（][h]，[k][）][=（x+h]，[y+k）]，也就是

[x’=x+hy’=y+k] （1）式 或 [x=x’-hy=y’-k]（2）式

（1）式可称为平移后点的坐标公式，（2）式可称为平移前点的坐标公式，则平移问题的处理思想与方法可根据所已知的方程归结为以下两条：

①若已知平移前函数方程[F（x]，[y）=0]，则用平移前点的坐标公式代入平移前方程[F（x]，[y）=0]，得到平移后的函数方程[F’][（x’]，[y’）][=0]；②若已知平移后函数方程[F’][（x’]，[y’）][=0]，则用平移后点的坐标公式代入平移后方程[F’][（x’]，[y’）][=0]，得到平移前的函数方程[F（x]，[y）=0]。

以上两个思路可处理三类问题：对平移问题中的三个要素平移前方程[F（x]，[y）=0]、平移后方程[F’][（x’]，[y’）][=0]、平移向量[a=（h]，[k）]来说，可以说是知二求一，而高考命题就是沿这个思路来设计的，以下用2009年高考真题举例说明。

例1（天津）已知函数[fx=sin（ωx+π4）（x∈R]，[ω>0）]的最小正周期为[π]，将[y=fx]的图象向左平移[φ]个单位长度，所得图象关于[y]轴对称，则[φ]的一个值是

A.[π2] B. [3π8] C.[π4] D. [π8]

解析：由已知的周期，显然[fx=sin（2x+π4）]，则f（x）为平移前方程，据题意，可得平移向量[a=（-φ，0）]，则再得平移前坐标公式[x=x’+φy=y’]，代入平移前方程[fx=sin（2x+π4）]，得平移后方程为[fx=sin2x+φ+π4]，而此函数关于y轴对称，即当[x=0]时，[f0]取到最值，也就是[2φ+π4=k]π+[π2]，所以得[φ=π8+kπ2]，对比四个选择支，当[k=0]时，[φ]可以是[π8]，故选D。

例2（湖北）函数[y=cos2x+π6-2]的图象按向量[a]平移到[F’]，[F’]的解析式为[y=fx]，当[y=fx]为奇函数时，向量[a]可等于

A.[（π6] ，[-2）] B.[（π6] ，[2）] C. [（-π6] ，[-2）] D. [（-π6]，[2）]

解析：设平移向量[a=（h，k）]，则把平移前坐标公式[x=x’-hy=y’-k]代入平移前方程[y][=][cos2x+π6-2]，得[y-k][=][cos][2x’-h+π6][-2]，即平移后的图象F’的方程为[y=fx=][cos2x-2h+π6-2-k]，又已知[y=fx]为奇函数，因此其图象关于原点对称且过原点为，从而有[2×0-2h+π6=nπ+π2-2+k=0]，[n∈Z] 即[h=-nπ2-π6k=2]，[n∈Z]，经检验，当n=0时得[a=（-π6]，[2）]，故选D。

例3（山东）将函数[y=sin2x]的图象向左平移[π4]个单位，再平移1个单位，所得的图象解析式为

A. [y=2cosx2] B. [y=2sinx2]

C. [y=1+sin（2x+π4）] D. [y=cos2x]

解析：由题意，知平移向量[a=（-π4，1）]，则平移前坐标公式为[x=x’+π4y=y’-1]，代入平移前方程[y=sin2x]，得平移后方程为[y’-1][=][sin2（x’+π4）]，即[y’=sin]2[x’+π4]+1=[sin2x’+π2][+1=cos2x’+1=2cosx’2]，故选A。

从以上例题来看，如果明确两个处理思路及三个可以处理题型，那么对于函数的平移问题，就不该再有疑问。

练习：（全国II）若将函数[y=tan（ωx+π4）（ω]>[0）]的图象向右平移[π6]个单位长度后，与函数[y=tan（ωx+π6）]的图象重合，则ω的最小值为

A. [16] B. [14] C. [13] D. [12]

（湖南）将函数[y=sinx]的图象向左平移[φ] （0≤[φ]<2π）个单位后，得到函数[y=sin（x-π6）]的图象，则[φ]等于

A. [π6] B. [5π6] C. [7π6] D.[11π6]

答案：1：D；2：D。