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◆摘  要：足球是当今世界最热门的体育运动之一。本文主要讨论有 12 支球队参赛时， 决赛对阵方案的制定以及有 24 支球队参赛时， 决赛对阵方案的制定，得到了所有不同的对阵方案。

◆关键词：足球;淘汰赛;对阵方案;逆序数

一、引言

足球，被誉为“世界第一运动”，全球体育界最具有影响力的单项体育运动。足球运动是一项古老的体育活动，源远流长。据史料记载，希腊人和罗马人在中世纪以前就已经从事一种足球游戏了。他们在一个长方形场地上，将球放在中间的白线上，用脚把球踢滚到对方场地上。

据史料记载，中国古代足球的出现比欧洲更早，历史更为悠久。足球起源于中国古代战国时期的齐国，当时名为“蹴鞠”或“蹋鞠”，“蹴”和“蹋”都是踢的意思，“鞠”是球名。“蹴鞠”一词最早记载在《史记》里，汉代刘向《别录》和唐人颜师曾《汉书枚乘传》均有记载。《战国策·奇策》中苏秦游说齐宣王时形容临淄：“临淄甚富而实，其民无不吹竿、鼓瑟、蹴鞠者”。到了唐宋时期，“蹴鞠”活动已十分盛行，成为宫廷之中的高雅活动。原国际足联主席阿维兰热博士来中国访问时曾表示：足球起源于中国。当然，由于封建社会的局限，中国古代的蹴鞠活动最终没有发展成为以公平竞争”为原则的现代足球运动。这个质的飞跃是在资本主义的英国完成的。

现代足球运动的诞生从17世纪中后期开始，足球运动逐步从欧美传入世界各国，尤其是在一些文化发达的国家更为盛行。越来越多的人走向球场，投身到这一富有刺激性和畅快感的运动中去，以至于一度将足球运动开展得好坏作为衡量一个国家文化发达与否的标志。在这种情况下，英国人率先为足球运动的发展作出了重要贡献。1848年，足球运动的第一个文字形式的规则《剑桥规则》诞生了。1863的10月26日，英国人在伦敦皇后大街弗里马森旅馆成立了世界第一个足球协会----英格兰足球协会。英格兰足球协会的诞生，标志着足球运动的发展进入了一个崭新的阶段。

二、主要结果

据历史考证，女子足球的历史几乎同男子一样长，这从汉代出土的文物及中国古代足球游戏可以得到证明。也有资料记载，英格兰妇女参加类似的足球比接在十六世纪已经开展，比赛时间也同现代足球相似。当比赛蔓延到英伦三岛时，普及面也不小，各个不同地区的妇女开始尝试。但后来由于比赛缺乏规则指导而且对抗日益加剧，似乎早期足球对妇女吸引力降低了。

1988年我国广东试办非正式的国际足联女子足球锦标赛和1991年又成功举办首届世界杯以来，国际女子足球运动取得了飞速的发展。尽管女足格局尚未走出欧洲、北美、亚洲为龙头的三强鼎立格局但国际女足的力量对比和打法风格已经发生了新的变化，世界杯比赛制度的确立及女足成为亚特兰大奥运会正式比赛项目促进了各国女足训练的正规划，随着女足商业化、职业化进程，女子足球的普及程度会有所加强，技战术水平将更加呈现出男性化特征。随着现代足球运动的不断普及和发展，其规则也在演变和改进。

第一届女足世界杯于 1991 年在中国广州举办。由于当时世界女足运动才刚刚起步，其普及程度以及竞技水平还相对不足，所以第一届世界杯只有 12 支球队参赛，以确保观赏性。12 支球队分成 3 组，每组 4 支球队。每组前两名以及成绩最好的两个小组的第三名进入 8 强淘汰赛。下面我们来讨论 [14]决赛的对阵方案。

首先，在A，B，C三个小组的第一名中选两个出来与成绩最好的两个第三名对阵，一共有 C[3][2]=3种不同的选法（1A，1B 或1A，1C 或1B，1C）。由于成绩最好的两个小组第三名的不确定性，可能的方式有 C[3][2]=3种（3A，3B 或3A，3C 或3B，3C）。

最后，我们来确定剩下的两组的对阵。依照同组回避原则，刚才选第一名时没选到的小组的前两名分别对阵其余两组的第二名。一共有 2 种不同的对阵方式。所以，所有不同的 [14] 决赛对阵方式一共有 3×3×2=18 种（如图1）。

如果在确定出线的两个小组第三名的前提下，不同的对阵方式一共有 3×2=6 种（如图2）。如果在确定出线的两个小组第三名的前提下，并且对选择对阵第三名的那两个小组的第二名进行排序，规定选剩的一个小组第一名对阵成绩较差的第二名，本小组的第二名对阵成绩（参看附表）较好的第二名。这样的话，不同的对阵方式只有3种。

以 1991 年中国广州第一届女足世界杯为例，按照当年国际足联的规定，选择B组第一名（美国）和C组的第一名（德国）来对阵两个成绩最好的第三名。最后，A组的丹麦和C组的中华台北成功以第三名进入淘汰赛。当年的淘汰赛对阵图如图2。如果我们对B组的第二名（瑞典）和C组的第二名（意大利）进行排序的话，由于瑞典的成绩优于意大利，根据上面的规定，则中国对阵意大利，挪威对阵瑞典。

随着女足运动在全世界的不断普及和推广，使得一些国家和地区的女足水平得到迅速的提高，女足运动规模日益扩大，女子足球影响力不断扩大。2015 年加拿大女子世界杯是国际足联举办的第 7 届女足世界杯赛事。本届赛事首次扩军至 24 支球队。24 支球队分成 6 组，每组 4 支球队，除了每小组前2名出线之外，还有4个名额分配到了各小组成绩最好的第三名。一共 16 支球队进入淘汰赛。对于实力较弱的球队来说，如果以成绩最好的小组第3名出线也还算是一个不错的选择。下面我们来讨论有 24 支球队参赛 [18]决赛对阵方案的制定。

根据国际足联规定，小组第一名对阵小组第三名时，本组第一不对阵本组第三（同组回避原则），同一小区（16 强分为上半区和下半区，而每个半区[18] 决赛之前的每 4 支球队称为一个小区）的其他两个小组第三名也要回避，与剩下的小组第三交锋。任一小组第一不与其他小组第一对阵（[18]决赛时）（为了尽量避免强队过早被淘汰，确保观赏性）。

首先，在A，B，C，D，E，F六个小组的第一名中选 4 个出来与成绩最好的 4 个第三名对阵。对于 4 个小组第一名，一共有 C[6][4]=15 种可能。由于成绩最好的 4 个小组第三名的不确定性，=4 个小组第三名有 C[6][4]=15种可能。

对于 4 个第三名的选取，我们可以通过下面的方式来实现。从3A，3B，3C，3D，3E，3F中任选 3 个不同的字母并从小到大排好顺序，一共选 4 次，若能使得每个字母均出现 2 次，则这 4 组字母必包含所有的 15 种可能，且每种可能均（仅有）两次包含在内。我们不妨选定其中一种作为代表。例如，所选的 4 组字母分别为：

（1）3C/3D/3E，（2）3A/3B/3F，（3）3A/3C/3D，（4）3B/3E/3F。

不难看出，这 4 组字母包含了 4 个小组第三的所有 15 种可能，且每种可能均 2 次包含在内。因为每种可能均 2 次包含在内，所以我们必须约定优先选择问题。下面我们采用逆序数来解决这个问题。我们先给这 4 组字母分别排一个序，分别用 1，2，3 来表示，假如3A，3C，3D，3F出线进入淘汰赛，那么，3A，3C，3D，3F与 1133 和 1223 两组数对应。对于任意的两个大于 0 的正整数 [i] 和 [j] ，若 [i] > [j]，则这两个数的逆序为 1;若 [i] < [j]，则逆序为 0;若  [i] = [j]，则规定逆序为 0.5。一组数的所有逆序之和称为这组数的逆序数。我们规定逆序数较小的优先（当两组数的逆序数相等时，规定各个数字之和较小的优先）。例如，1213 的逆序数为 1.5，3331 的逆序数为 4.5。所以 1213 优于3331。

接着，我们来确定 4 个第一名的选取。4 个小组第一名，一共也是 C[6][4]=15 种可能，所以，我们同样可以采用上面的方式来确定 4 个小组第一。根据同组回避原则（本组第一不对阵本组第三），那么 4 个小组第一与小组第三的对阵为：

（1）1A/1B/1F----3C/3D/3E;（2）1C/1D/1E----3A/3B/3F;

（3）1B/1E/1F----3A/3C/3D;（4）1A/1C/1D----3B/3E/3F。

类似地，第一名的 4 组字母必包含所有的 15 种可能，且每种可能均 2 次包含在内。我们同样用逆序数来决定第一名的优先选择问题。如果我们选取的 4 个小组第一名分别为：1A，1B，1C，1D，那么它与 1122 和 1113 这两组数对应。显然 1122 优于 1113。

注意到：在以上规定之下，4 个小组第一与 4 个小组第三的对阵是唯一确定的。

最后，我们来确定 6 个小组第二名以及剩下的 2 个小组第一名的对阵。根据任一小组第一不与其他小组第一对阵，本组第一不对阵本组第三以及同一小区的其他两个小组第三名也要回避的原则，这 4 组对阵所有的不同方案有 105-15-15-15+3=63 种。我们在这 63 种可能中任选其中一种对阵，和上面方式确定的 4 个小组第一与 4 个小组第三的对阵组成一个 [18]决赛对阵方案，不难看出，这个方案是唯一确定的（有且仅有一种对阵方式）。所以，有 24 支球队参赛的 [18] 决赛对阵的不同方案一共有 15×15×63=14175 种。

在开赛之前，如果我们选定 4 个小组第一（例如，1A，1B，1C，1D），且确定 6 个小组第二以及剩下的 2 个小组第一的一种对阵方式（63 种之一）的话，那么有 24 支球队参赛的 [18]决赛对阵的不同方案只有 15 种。（如图3）

三、结束语

从1863年到现在仅仅一百余年，但是足球运动所取得的成就的确是很惊人的。欧洲、拉美的竞技水平可以说旗鼓相当，名列前茅。亚洲、非洲足球健儿也不甘示弱，正在发奋图强迎头赶上。现在足球场上正是创作钻研和随机应变的新时代，层出不穷的新事物正在向前突飞猛进，把足球运动推向百花争艳的春天。随着足球的不断发展，足球规则也不断改变，比赛的形式也变得多样化。小组赛的晋级规则也不断改进，都是朝着公平、公正、公开的原则发展。制定合理的规则，使得足球比赛更加具有观赏性，吸引更广大的人民参与这项运动。提高全民身体素质，注重足球文化的培养，足球文化的教育贯穿于足球教育的始终，使得足球持续长远的发展。

参考文献

[1] 解维俊. 足球起源地探索[M]. 中华书局，2004.

[2] 墨石磊. 从蹴鞠和现代足球的起源演变谈两者的文化差异[J]. 南京体育学院学报（自然科学版），2009，8（04）：148-150.

[3] 梁柱平. 我国古代足球的起源与演变[J]. 广州体育学院学报， 1999，（01）.

[4] 王崇喜. 足球[M]. 高等教育出版社，2001.

[5] 毕世明. 中国古代体育史[M]. 北京体育学院出版社，1990.

作者简介

崔春强（1982-），男，广东茂名人，硕士，讲师，研究方向： 环与代数。

基金项目：湛江科技学院重点学科建设项目（CJKY201811， CJKY201810）};湛江科技学院品牌提升计划项目（PPJH202115YLKC）