摘 要：本文详细阐述把思维导图应用到高等数学教学中，用多元函数积分公式之间的关系图启发学生学习，提高认知效率，并对如何利用现有资源优化教学模式进行了初步探索。

关键词：高等数学；可视化；思维导图；积分

1高等数学介绍

高等数学是大学理工科和部分文科专业必备的一门基础课程。其课程要求逻辑严格，强推理、重计算，用微积分的思想贯穿始终。学生在实际学习过程中，普遍出现了对高等数学理论和数学概念认知困难的情况。而高等数学理解水平直接影响其它学科理解，要提高国民自然科学素质就必须提高高等数学教和学的水平。单纯数理推导的教学模式，不能完全适应特别是非数学专业学生的理解方式，对高等数学教学模式进行改进和创新迫在眉睫。结合教材[1]，[2]，以积分为例，本文给出了如下探究。

2多元函数积分课程教学研究

2.1整合优化教学内容给出易懂的例

多元函数积分是微积分部分的重要组成，是高等数学攻坚过程中的一座大山。积分类型很重要，不同积分类型定义不同，几何和物理背景也不同。这要求教师要心中有例子，理论联系实际，使学生迅速进入情景，心理接受并理解相应的积分。教学内容越是贴近实际，越能激发学生的认同感和探知欲，同时获得解决问题的能力提升感促进学生的积极性。

2.2利用物理几何背景分类引入思维导图

“多元函数积分”涉及的概念多，特别是在区分第一类型和第二类型的积分的分类时，学生往往因内容多而感到困惑。因而，给出一种能让学生迅速区分积分类型的分类方式是十分必要的。

首先，作者采用“积分区域的图形”来分类的。定积分的被积分的图形是x轴上的线段；而第一类和第二类曲线积分区域是空间中的曲线段，因此都是“线上的积分”。因为，二重积分的积分区域是xoy平面上的图形；而第一类和第二类曲面积分区域是在空间中的曲面部分，所以都是“面上的积分”。“积分区域的图形”是“体上的积分”即三重积分。这样就明确积分的大的分类，给出了积分分类的思维导图（图1）。在实际教学中，学生反应这种分类方式加快和加深他们对积分理解。

其次，在课程中引入几何和物理背景。密度—质量模型有：定积分，第一类曲线积分，二重积分，第一类曲面积分，三重积分都可以统一到这种模型。高度—面积、体积模型有：定积分，第一类曲线积分，二重积分，第一类曲面积分四种积分类型。力—做功模型有：第二类曲线积分的理解模型。流速—流量模型为：第二类曲面积分的理解基础。结合各个积分的转化关系给出了思维导图（图2）。作者对积分教学过程，就是以这个思维导图为指引，不断推演教学内容，完善证明和例子，从而完善学生知识框架搭建。学生对这个知识框架反应良好。

2.3教学过程恰当互动提高学生浸入感

高等数学教学中，学生大多处于被动单纯听的状态，师生之间互动少，大部分学生不能进入学习状态，教学效果不理想。因此，在教学过程中有针对性地，对可操作的知识点进行启发式提问，加强学生学习浸入感。以第二类曲线积分为例，讨论积分的性质：两个可积函数和的积分等于分别积分再求和。在作者的实际教学过程中，有一个学生用物理语言描述上述性质为：两个力的合力做的功等于两个分力做功的和。在这个问题的回答之后，课堂的气氛为之一变，大部分学生的思维积极性明显提高，课后部分同学反馈，具备物理背景论述比单纯的数学理论推导更容易理解。因此适当的教学互动，合理的物理几何背景的结合，能提高学生的学习积极性。

3总结概述

结合作者教学经验，探索性给出下面两个原则。

思维导图构造原则：①构建理论依据贯穿始终，主线明确；②导图作图简洁对称。

互动点设置原则：①容易结合物理几何背景的内容；②互动时长不超过10分钟；③时间点放到课程的中间部分。

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学（第7版上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]同济大学数学系编.高等数学（第7版下册）[M].北京：高等教育出版社，2014.